LOGIKA INFORMATIKA
PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA
TAHUN AJARAN 2007/2008
DAFTAR ISI
BAB
1 : DASAR-DASAR LOGIKA
|
||
1.1
|
Pengertian Umum Logika
|
|
1.2
|
Logika dan Pernyataan
|
|
|
1.2.1 Logika
|
|
|
1.2.2 Pernyataan (Proposisi)
|
|
|
1.2.3
Penghubung Kalimat Dan Tabel Kebenaran
|
|
|
1.2.4 Ingkaran (Negasi) Suatu Pernyataan
|
|
1.3
|
Tautologi dan Kontradiksi
|
|
1.4
|
Konvers, Invers, dan Kontraposisi.
|
|
1.5
|
Inferensi Logika
|
|
1.6
|
Soal Latihan
|
|
BAB
2 : KALIMAT BERKUANTOR
|
||
2.1
|
Predikat dan Kalimat Berkuantor
|
|
2.2
|
Kuantor
Universal dan Kuantor Eksistensial
|
|
2.3
|
Ingkaran Kalimat Berkuantor
|
|
2.4
|
Kalimat Berkuantor Ganda
|
|
2.5
|
Soal Latihan
|
|
BAB
3 : ALJABAR BOOLE
|
||
3.1
|
Aljabar Boole
Sebagai Suatu Struktur Aljabar
|
|
3.2
|
Fungsi Boolean
|
|
3.3
|
Ekspresi Boole
|
|
3.4
|
Bentuk Normal Disjunctive
|
|
3.5
|
Rangkaian Logika
|
|
3.6
|
Soal Latihan
|
|
BAB
4 : METODE PEMBUKTIAN
|
||
4.1
|
Petunjuk Umum Pembuktian
|
|
4.2
|
Metode Pembuktian Langsung
|
|
4.3
|
Metode Pembuktian Tak Langsung
|
|
|
4.3.1 Pembuktian Dengan Kontradiksi
|
|
|
4.3.2 Pembuktian Dengan Kontraposisi
|
|
4.4
|
Soal Latihan
|
|
PENDAHULUAN
Logika
disebut juga “the calculus of computer
science” karena logika memegang peranan yang sangat penting di bidang ilmu
komputer. Peran kalkulus (matematika) sama pentingnya untuk ilmu-ilmu bidang
sains, misalnya ilmu fisika, ilmu elektronika, ilmu kimia, dan sebagainya. Oleh
karena itu, biasanya pelajar, mahasiswa, guru, dan dosen setuju bahwa logika
memainkan peranan penting dalam berbagai bidang keilmuan, bahkan dalam
kehidupan manusia sehari-hari.
Logika,
komputasi numerik, dan matematika diskrit memiliki peran penting dalam ilmu
komputer karena semuanya berperan dalam pemrograman. Logika merupakan
dasar-dasar matemtis suatu perangkat lunak, digunakan untuk memformalkan
semantik bahasa pemrograman dan spesifikasi program, serta menguji ketepatan
suatu program. Hal ini menunjukkan betapa pentingnya logika matematika karena
banyak ilmu, khususnya dalam bidang ilmu komputer, yang memerlukan logika untuk
berkembang.
Logika
dalam ilmu komputer dalam ilmu komputer digunakan sebagai dasar dalam belajar
bahasa pemrograman, struktur data, kecerdasan buatan, teknik/sistem digital,
basis data, teori komputasi, rekayasa perangkat lunak, sistem pakar, jaringan
syaraf tiruan, dan lain-lainnya yang mempergunakan logika secara intensif.
Salah satu contoh yang populer adlah sistem digital, yaitu bidang ilmu yang
didasari oleh logika untuk membuat gerbang logika (logic gates) dan arsitektur komputer sebagai inti mikroprosesor,
otak komputer atau central processing unit.
Logika
matematika (mathematical logic)
adalah cabang ilmu di bidang matematika yang memperdalam masalah logika, atau
lebih tepatnya memperjelas logika dengan kaidah-kaidah matematika.
Logika
matematika sendiri juga terus berkembang, mulai dari logika proposional, logika
predikat, pemrograman logika, dan sebaganya. Perkembangan terakhir ilmu logika
adalah logika fuzzy, atau di Indonesia
disebut logika kabur atau logika samar. Implementasi logika fuzzy dapat ditemui
pada pengatur suhu udara (AC), mesin pencuci, kulkas, lainnya.
Dari penjelasan diatas bisa disimpulkan mengenai peran penting logika dalam
ilmu komputer. Jika seseorang ingin
mempelajari ilmu komputer, maka ia tidak bisa terlepas dari masalah logika.
Oleh karena itu, logika matematika
dipelajari secara formal di perguruan tinggi, khususnya dalam ilmu komputer
sebagai matakuliah wajib selama 1
semester. Di indonesia sendiri ilmu komputer lebih populer dengan nama Teknik Informatika atau Teknologi
Informasi
Dikutip dari
buku “ Logika Matematika Untuk Ilmu Komputer”, oleh F. Soesianto dan Djoni Dwijono, Andi Offset,
Jogjakarta.
Jade
must be carved and polished before it becomes an ornament.
Man
must be educated before he can achieve great things.
BAB 1 : DASAR-DASAR LOGIKA
BAB 1 : DASAR-DASAR LOGIKA
1.1
PENGERTIAN UMUM
LOGIKA
Filsafat dan
matematika adalah bidang pengetahuan rasional yang ada sejak dahulu. Jauh
sebelum matematika berkembang seperti sekarang ini dan penerapannya menyentuh
hampir seluruh bidang ilmu pengetahuan modern, ilmuwan dan filosof yunani telah
mengembangkan dasar pemikiran ilmu geometri dan logika. Sebut saja THALES
(640-546 SM) yaitu seorang ilmuwan geometri yang juga disebut sebagai bapak
filosofi dan penalaran deduktif. Ada
juga ahli matematika dan filosof PHYTAGORAS (572-497 SM) dengan dalil
phytagorasnya yang terkenal yaitu a2+b2=c2 .
MATEMATIKA DAN FILSAFAT
Persamaan
filsafat dan matematika
- Kerja Filosof adalah berpikir
konsep.
- Kerja Matematikawan adalah
memperjelas konsep yang dikembangkan oleh filosof.
Perbedaan filsafat dan matematika
- Filsafat bebas menerapkan
berbagai metode rasional.
- Matematikawan hanya
menerapkan metode deduksi.
MATEMATIKA DAN LOGIKA
Menurut BETRAND RUSSEL matematika adalah ilmu yang menyangkut deduksi logis
tentang akibat-akibat dari pangkal fikir umum semua penalaran.
Ini berkaitan dengan konsepsi matematika sebagai ilmu formal, ilmu tentang
bilangan dan ruang, ilmu tentang besaran dan keluasan, ilmu tentang hubungan,
pola bentuk, dan rakitan juga sebagai ilmu yang bersifat abstrak dan deduktif.
MAKNA LOGIKA
Berasal dari bahasa yunani “LOGOS” yang berarti kata, ucapan, atau alasan. Logika adalah metode atau teknik yang diciptakan untuk meneliti ketepatan
penalaran. Logika mengkaji prinsip-prinsip penalaran yang benar dan
penalaran kesimpulan yang absah. Ilmu ini pertama kali dikembangkan sekitar 300
SM oleh ARISTOTELES dan dikenal sebagai logika tradisioanal atau logika klasik.
Dua ribu tahun kemudian dikembangkan logika modern oleh GEORGE BOOLE dan DE
MORGAN yang disebut dengan Logika Simbolik karena menggunakan simbol-simbol
logika secara intensif.
Dasar pemikiran logika klasik adalah logika benar dan salah yang
disimbolkan dengan 0 (untuk logika salah) dan 1 (untuk logika benar) yang
disebut juga LOGIKA BINER. Tetapi pada kenyataanya dalam kehidupan sehari-hari
banyak hal yang kita jumpai yang tidak bisa dinyatakan bahwa sesuatu itu mutlak
benar atau mutlak salah. Ada daerah dimana benar dan salah tersebut nilainya
tidak bisa ditentukan mutlak benar atau mutlak salah alias kabur.
Untuk mengatasi masalah yang terjadi dalam logika klasik yang dikembangkan
oleh ARISTOTELES tersebut, seorang ilmuwan dari Universitas California
Berkeley, PROF. LOTFI A.ZADEH pada tahun 1965 mengenalkan suatu konsep berpikir
logika yang baru yaitu LOGIKA KABUR (FUZZY LOGIC).
PADA
LOGIKA FUZZY
- Nilai
kebenarn bukan bersifat crisp (tegas) 0 dan 1 saja tetapi berada
diantaranya (multivariabel).
- Digunakan
untuk merumuskan pengetahuan dan pengalaman manusia yang mengakomodasi
ketidakpastian ke dalam bentuk matematis tanpa harus mengetahui model
matematikanya.
- Pada
aplikasinya dalam bidang komputer, logika fuzzy diimplementasikan untuk
memenuhi kebutuhan manusia akan sistem komputer yang dapat
merepresentasikan cara berpikir manusia.
HUBUNGAN
MATEMATIKA DAN LOGIKA
Menurut RUDOLF CARNAP (1931)
- Konsep
matematika dapat diturunkan dari konsep-konsep logika dengan melalui
batasan-batasan yang jelas.
- Dalil-dalil
matematika dapat diturunkan dari aksioma-aksioma logika dengan perantara
deduksi logis secara murni.
Menurut BETRAND RUSSEL
- Logika
adalah masa muda matematika dan matematika adalah masa dewasa logika.
LOGIKA
DAN KOMPUTER
Arsitektur sistem komputer tersusun
atas rangkaian logika 1 (true) dan 0 (false) yang dikombinasikan dengan
sejumlah gerbang logika AND. OR, NOT, XOR, dan NAND.
Program komputer berjalan di atas
struktur penalaran yang baik dari suatu
solusi terhadap suatu permasalahan dengan bantuan komponen program
IF…THEN…ELSE, FOR…TO…DO, WHILE, CASE…OF.
1.2
LOGIKA DAN
PERNYATAAN
1.2.1
LOGIKA
PENGERTIAN
UMUM LOGIKA
Logika
adalah metode atau teknik yang diciptakan untuk meneliti ketepatan penalaran
serta mengkaji prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan
yang absah.
Ilmu
logika berhubungan dengan kalimat-kalimat (argumen) dan hubungan yang ada
diantara kalimat-kalimat tersebut. Tujuannya adalah memberikan aturan-aturan
sehingga orang dapat menentukan apakah suatu kalimat bernilai benar.
Kalimat
yang dipelajari dalam logika bersifat umum, baik bahasa sehari-hari maupun
bukti matematika yang didasarkan atas hipotesa-hipotesa. Oleh karena itu
aturan-aturan yang berlaku di dalamnya haruslah bersifat umum dan tidak
tergantung pada kalimat atau disiplin ilmu tertentu. Ilmu logika lebih mengarah
dalam bentuk sintaks-sintaks daripada arti dari kalimat itu sendiri.
GAMBARAN
UMUM LOGIKA
Secara
umum logika dibedakan menjadi dua yaitu Logika Pasti dan Logika Tidak Pasti.
Logika pasti meliputi Logika Pernyataan (Propotitional Logic), Logika Predikat
(Predicate Logic), Logika Hubungan (Relation Logic) dan Logika Himpunan.
Sedangkan logika tidak pasti meliputi Logika Samar atau kabur (Fuzzy Logic).
Logika
Pernyataan membicarakan tentang pernyataan tunggal dan kata hubungnya sehingga
didapat kalimat majemuk yang berupa kalimat deklaratif.
Logika
Predikat menelaah variabel dalam suatu
kalimat, kuantifikasi dan validitas sebuah argumen.
Logika Hubungan
mempelajari hubungan antara pernyataan, relasi simetri, refleksif, antisimtris,
dll.
Logika himpunan
membicarakan tentang unsur-unsur himpunan dan hukum-hukum yang berlaku di
dalamnya.
Logika Samar merupakan pertengahan dari dua nilai biner yaitu ya-tidak,
nol-satu, benar-salah. Kondisi yang ditunjukkan oleh logika samar ini antara
lain : banyak, sedikit, sekitar x, sering, umumnya. Logika samar banyak diterapkan dalam
kecerdasan buatan, mesin pintar atau sistem cerdas dan alat-alat elektronika.
Program komputer dengan menggunakan logika samar mempunyai kapasitas
penyimpanan lebih kecil dan lebih cepat bila dibanding dengan logika biner.
ALIRAN
DALAM LOGIKA
LOGIKA TRADISIONAL
- Pelopornya
adalah Aristoteles (384-322 SM)
- Terdiri
dari analitika dan dialektika. Ilmu analitika yaitu cara penalaran yang
didasarkan pada pernyataan yang benar sedangkan dialektika yaitu cara
penalaran yang didasarkan pada dugaan.
LOGIKA METAFISIS
- Dipelopori oleh F. Hegel
(1770-1831 M)
- Menurut Hegel, logika
dianggap sebagai metafisika dimana susunan pikiran dianggap sebagai
kenyataan.
LOGIKA EPISTIMOLOGI
- Diperkenalkan
oleh FH. Bradley (1846-1924) dan Bernhard Bosanquet (1848-1923 M).
- Prisip
dari logika epistimologi ini adalah untuk mencapai pengetahuan yang
memadai, pikiran yang logis dan perasaan halus digabungkan. Selain itu,
untuk mencapai kebenaran, logika harus dihubungkan dengan seluruh
pengetahuan yang lainnya.
LOGIKA INSTRUMENTALIS/FRAGMATIS
- Dipelopori
oleh Jhon Dewey (1859-1952)
- Prinsipnya
adalah logika merupakan alat atau instrumen untuk menyelesaikan masalah.
LOGIKA SIMBOLIS
- Logika
simbolis adalah ilmu tentang penyimpulan yang sah (absah) yang
dikembangkan menggunakan metod ematematika dan bantuan simbol-simbol
khusus sehingga memungkinkan seseorang menghindari makna ganda dari bahasa
sehari-hari.
- Pelopornya adalah Leibniz, De
Morgan, dan Boole
- Logika ini menggunakan bahasa
simbol untuk mempelajari secara rinci bagaimana akal harus bekerja dan
bercirikan teknis, matematis, dan ilmiah. Pemakaian simbol matematika ini
untuk mewakili bahsa dalam bentuk pernyataan yang bernilai benar atau
salah.
- Logika simbolis ini kemudian
menjadi dasar logika matematika modern yaitu logika formal yang
semata-mata menelaah bentuk da bukan isi dari apa yang dibicarakan.
1.2.2
PERNYATAAN
(PROPOSISI)
Kata merupakan
rangkaian huruf yang mengandung arti, sedangkan kalimat adalah kumpulan kata
yang disusun menurut aturan tata bahasa dan mengandung arti. Di dalam
matematika tidak semua pernyataan yang bernilai benar atau salah saja yang
digunakan dalam penalaran. Pernyataan disebut juga kalimat deklaratif yaitu
kalimat yang bersifat menerangkan. Disebut juga proposisi.
Pernyataan/ Kalimat Deklaratif/ Proposisi
adalah kalimat yang bernilai benar atau salah tetapi tidak keduanya.
Contoh :
- Yogyakarta adalah kota
pelajar (Benar).
- 2+2=4 (Benar).
- Semua
manusia adalah fana (Benar).
- 4
adalah bilangan prima (Salah).
- 5x12=90 (Salah).
Tidak semua kalimat berupa proposisi
Contoh :
- Dimanakah
letak pulau bali?.
- Pandaikah
dia?.
- Andi lebih tinggi daripada
Tina.
- 3x-2y=5x+4.
- x+y=2.
1.2.3
PENGHUBUNG KALIMAT
DAN TABEL KEBENARAN
Satu atau lebih
proposisi dapat dikombinasikan untuk menghasilkan proposisi baru lewat
penggunaan operator logika. Proposisi baru yang dihasilkan dari kombinasi
tersebut disebut dengan proposisi majemuk (compound composition), sedangkan
proposisi yang bukan merupakan hasil dari kombinasi proposisi lain disebut proposisi atomik. Proposisi majemuk
tersusun dari sejumlah proposisi atomik.
Dalam logika dikenal 5 buah penghubung
Simbol
|
Arti
|
Bentuk
|
¬
|
Tidak/Not/Negasi
|
Tidak………….
|
Ù
|
Dan/And/Konjungsi
|
……..dan……..
|
Ú
|
Atau/Or/Disjungsi
|
………atau…….
|
Þ
|
Implikasi
|
Jika…….maka…….
|
Û
|
Bi-Implikasi
|
……..bila
dan hanya bila……..
|
Contoh 1.1 :
Misalkan : p
menyatakan kalimat “ Mawar adalah nama bunga”
Q menyatakan kalimat “ Apel adalah nama buah”
Maka kalimat “ Mawar
adalah nama bunga dan Apel adalah nama buah “
Dinyatakan dengan
simbol p Ù q
Contoh 1.2 :
Misalkan p: hari ini hari minggu
q: hari ini libur
nyatakan kalimat dibawah ini dengan simbol logika :
a.
Hari ini tidak hari
minggu tetapi libur
b.
Hari ini tidak hari
minggu dan tidak libur
c.
Tidak benar bahwa hari ini hari minggu dan
libur
Penyelesaian
a.
Kata
“tetapi” mempunyai arti yang sama dengan dan sehingga kalimat (a) bisa ditulis
sebagai : ¬p Ù
q
b.
¬p Ù¬q
c.
¬(p Ù q)
NEGASI
(INGKARAN)
Jika p adalah “ Semarang ibukota Jawa
Tengah”, maka ingkaran atau negasi dari pernyataan p tersebut adalah Øp yaitu “ Semarang
bukan ibukota Jawa Tengah” atau “Tidak benar bahwa Semarang ibukota Jawa
Tengah”. Jika p diatas bernilai benar (true), maka ingkaran p (Øp) adalah bernilai
salah (false) dan begitu juga sebaliknya.
KONJUNGSI
Konjungsi adalah suatu pernyataan
majemuk yang menggunakan penghubung “DAN/AND”
dengan notasi “Ù”
Contoh
1.3:
p: Fahmi makan nasi
Q:Fahmi minum kopi
Maka pÙq : Fahmi makan nasi dan minum kopi
Pada konjungsi pÙq akan bernilai
benar jika baik p maupun q bernilai benar. Jika salah satunya (atau keduanya)
bernilai salah maka pÙq bernilai salah.
DISJUNGSI
Disjungsi adalah pernyataan majemuk
yang menggunakan penghubung “ATAU/OR”
dengan notasi “Ú”.
Kalimat disjungsi dapat mempunyai 2
arti yaitu :
a. INKLUSIF OR
Yaitu jika “p benar
atau q benar atau keduanya true”
Contoh :
p
: 7 adalah bilangan prima
q
: 7 adalah bilangan ganjil
p Ú q : 7 adalah bilangan prima atau ganjil
Benar bahwa 7 bisa dikatakan bilangan prima sekaligus
bilangan ganjil.
b. EKSLUSIF OR
Yaitu jika “p benar
atau q benar tetapi tidak keduanya”.
Contoh :
p : Saya akan melihat pertandingan bola di
TV.
q : Saya akan melihat pertandingan bola di
lapangan.
p Ú q : Saya akan melihat pertandingan bola
di TV atau lapangan.
Hanya salah satu
dari 2 kalimat penyusunnya yang boleh bernilai benar yaitu jika “Saya akan
melihat pertandingan sepak bola di TV saja atau di lapangan saja tetapi tidak
keduanya.
IMPLIKASI
Misalkan ada 2 pernyataan p dan q, untuk
menunjukkan atau membuktikan bahwa jika p bernilai benar akan menjadikan q
bernilai benar juga, diletakkan kata “JIKA” sebelum pernyataan pertama lalu
diletakkan kata “MAKA” sebelum pernyataan kedua sehingga didapatkan suatu
pernyataan majemuk yang disebut dengan “IMPLIKASI/PERNYATAAN
BERSYARAT/KONDISIONAL/ HYPOTHETICAL dengan notasi “Þ”.
Notasi pÞq dapat dibaca :
- Jika
p maka q
- q
jika p
- p
adalah syarat cukup untuk q
- q
adalah syarat perlu untuk p
Contoh
1.4:
- p
: Pak Ali adalah seorang haji.
q : Pak Ali adalah
seorang muslim.
p Þ q : Jika Pak Ali
adalah seorang haji maka pastilah dia seorang
muslim.
- p
: Hari hujan.
q : Adi membawa
payung.
Benar atau salahkah
pernyataan berikut?
- Hari benar-benar hujan dan
Adi benar-benar membawa payung.
- Hari benar-benar hujan
tetapi Adi tidak membawa payung.
- Hari tidak hujan tetapi Adi
membawa payung.
- Hari
tidak hujan dan Adi tidak membawa payung.
BIIMPLIKASI
Biimplikasi atau bikondosional adalah
pernyataan majemuk dari dua pernyataan p dan q yang dinyatakan dengan notasi “p
Û q” yang bernilai
sama dengan (p Þq)
Ù (q Þ p) sehingga dapat dibaca “ p jika dan hanya jika
q” atau “p bila dan hanya bila q”. Biimplikasi 2 pernytaan hanya akan bernilai benar jika implikasi
kedua kalimat penyusunnya sama-sama bernilaii benar.
Contoh
1.5 :
p
: Dua garis saling berpotongan adalah tegak lurus.
q
: Dua garis saling membentuk sudut 90 derajat.
p
Û q : Dua garis
saling berpotongan adalah tegak lurus jika dan hanya jika dan hanya jika dua
garis saling membentuk sudut 90 derajat.
TABEL
KEBENARAN
p
|
q
|
Øp
|
Øq
|
pÚq
|
pÙq
|
pÞq
|
pÛq
|
p Å q
|
T
|
T
|
F
|
F
|
T
|
T
|
F
|
T
|
T
|
T
|
F
|
F
|
T
|
T
|
F
|
T
|
F
|
F
|
F
|
T
|
T
|
F
|
T
|
F
|
T
|
T
|
F
|
F
|
F
|
T
|
T
|
F
|
F
|
F
|
T
|
T
|
Untuk menghindari
perbedaan konotasi dan keganjilan arti dalam menerjemahkan simbol-simbol logika
maka dalam matematika tidak disyaratkan adanya hubungan antara kedua kalimat
penyusunnya. Kebenaran suatu kalimat berimplikasi semata-mata hanya tegantung
pada nilai kebenaran kaliamat penyusunnya. Karena itu digunakan tabel kebenaran
penghubung. Jika p dan q adalah kalimat-kalimat dimana T=true/benar dan
F=false/salah, maka untuk n variable (p,q,…) maka tabel kebenaran memuat 2n
baris.
1.2.4
INGKARAN (NEGASI) SUATU PENYATAAN
NEGASI SUATU KONJUNGSI
Contoh : Fahmi makan nasi dan minum kopi
Suatu konjumgsi
akan bernilai benar jika kedua kalimat penyusunnya yaitu p dan q bernilai
benar, sedangkan negasi adalah pernyataan yang bernilai salah jika pernyataan
awalnya bernilai benar dan bernilai
benar jika pernyataan awalnya bernilai salah.
Oleh
karena itu negasi dari : “Fahmi makan nasi dan minum kopi” adalah suatu
pernyataan majemuk lain yang salah satu komponennya merupakan negasi dari
komponen pernyataan awalnya. Jadi negasinya adalah: “Fahmi tidak makan nasi
atau tidak minum kopi”.
Disini berlaku
hukum De Morgan yaitu : Ø(pÙq) ekuivalen dengan ØpÚØq
NEGASI SUATU DISJUNGSI
Contoh : “Fahmi
makan nasi atau minum kopi”
Suatu disjungsi akan bernilai salah hanya jika kedua komponen penyusunnya
bernilai salah., selain itu benar. Oleh karena itu negasi dari kalimat diatas adalah : “ Tidak benar bahwa Fahmi
makan nasi atau minum kopi” atau dapat juga dikatakan “Fahmi tidak makan nasi
dan tidak minum kopi. Disini berlaku hukum De Morgan yaitu : Ø(pÚq) º ØpÙØq
NEGASI SUATU IMPLIKASI
Contoh 1.6 : “Jika hari hujan maka Adi membawa payung”.
Untuk memperoleh negasi dari
pernyataan diatas, kita dapat mengubah bentuknya ke dalam bentuk disjungsi
kemudian dinegasikan, yaitu :
pÞ q º ØpÚq
Maka negasinya
Ø( pÞ q) º Ø(ØpÚq) º pÙØq
NEGASI
SUATU BIIMPLIKASI
Biimplikasi atau
bikondisional adalah pernyataan majemuk dari dua pernyataaan p dan q yang
dinotasikan dengan p Û q º (p Þ q) Ù (q Þ p) sehingga : Ø(p Û q) º Ø [(p Þ q) Ù (q Þ p)]
º Ø [(ØpÚq ) Ù (ØqÚp)]
º Ø (ØpÚq ) Ú Ø(ØqÚp)
Ø(p Û q) º (pÙØq ) Ú (qÙØp)
1.3
TAUTOLOGI,
KONTRADIKSI, DAN CONTINGENT
Tautologi adalah
suatu bentuk kalimat yang selalu bernilai benar (True) tidak peduli
bagaimanapun nilai kebenaran masing-masing kalimat penyusunnya, sebaliknya
kontradiksi adalah suatu bentuk kalimat yang selalu bernilai salah (False),
tidak peduli bagaimanapun nilai kebenaran masing-masing kalimat penyusunnya.
Dalam tabel
kebenaran, suatu tautologi selalu bernilai True pada semua barisnya dan
kontradiksi selalu bernilai False pada semua baris. Kalau suatu kalimat
tautologi diturunkan lewat hukum-hukum yang ada maka pada akhirnya akan
menghasilkan True, sebaliknya kontradiksi akan selalu bernilai False.
Jika
pada semua nilai kebenaran menghasilkan nilai F dan T, maka disebut formula campuran (contingent).
Contoh
1.7 :
1. Tunjukkan bahwa pÚ(Øp) adalah tautologi!
p
|
Øp
|
pÚ(Øp)
|
T
|
T
|
T
|
T
|
F
|
T
|
F
|
T
|
T
|
F
|
F
|
T
|
2. Tunjukkan bahwa (pÚq) Ú [(Øp) Ù (Øq)] adalah tautologi!
p
|
q
|
Øp
|
Øq
|
pÚq
|
Øp Ù Øq
|
(pÚq) Ú [(Øp) Ù (Øq)]
|
T
|
T
|
F
|
F
|
T
|
F
|
T
|
T
|
F
|
F
|
T
|
T
|
F
|
T
|
F
|
T
|
T
|
F
|
T
|
F
|
T
|
F
|
F
|
T
|
T
|
F
|
T
|
T
|
3. Tunjukkan bahwa (pÚq) Ù [(Øp) Ù (Øq)] adalah kontradiksi!
p
|
q
|
Øp
|
Øq
|
pÚq
|
Øp Ù Øq
|
(pÚq) Ù [(Øp) Ù (Øq)]
|
T
|
T
|
F
|
F
|
T
|
F
|
F
|
T
|
F
|
F
|
T
|
T
|
F
|
F
|
F
|
T
|
T
|
F
|
T
|
F
|
F
|
F
|
F
|
T
|
T
|
F
|
T
|
F
|
4. Tunjukkan bahwa [(pÙq) Þ r] Þ p adalah contingent!
p
|
q
|
r
|
pÙq
|
(pÙq) Þ r
|
[(pÙq) Þ r] Þ p
|
T
|
T
|
T
|
T
|
T
|
T
|
T
|
T
|
F
|
T
|
T
|
T
|
T
|
F
|
T
|
F
|
F
|
T
|
T
|
F
|
F
|
F
|
F
|
T
|
F
|
T
|
T
|
F
|
T
|
F
|
F
|
T
|
F
|
F
|
T
|
F
|
F
|
F
|
T
|
F
|
T
|
F
|
F
|
F
|
F
|
F
|
T
|
F
|
1.4
KONVERS, INVERS,
DAN KONTRAPOSISI
Perhatikan pernytaan di bawah ini! Ø Ù
Ú Þ
Û
“Jika suatu bender adalah bendera RI maka
ada warna merah pada bendera tersebut”
Bentuk umum implikasi di atas adalah “p Þ q” dengan
p : Bendera
RI
q : Bendera yang ada warna merahnya.
Dari implikasi diatas dapat dibentuk tiga
implikasi lainnya yaitu :
1. KONVERS, yaitu q Þ p
Sehingga implikasi
diatas menjadi :
“ Jika suatu
bendera ada warna merahnya, maka bendera tersebut adalah bendera RI”.
2. INVERS, yaitu Øp Þ Øq
Sehingga implikasi
diatas menjadi :
“ Jika suatu
bendera bukan bendera RI, maka pada bendera tersebut tidak ada warna merahnya”.
3. KONTRAPOSISI, yaitu
Øq Þ Øp
Sehingga implikasi di atas menjadi :
“ Jika suatu bendera tidak ada warna merahnya, maka bendera tersebut bukan
bendera RI”.
Suatu hal yang
penting dalam logika adalah kenyataan bahwa suatu implikasi selalu ekuivalen
dengan kontraposisinya, akan tetapi tidak demikian halnya dengan invers dan konversnya.
Hal ini dapat dilihat dari tabel kebenaran
berikut
p
|
q
|
Øp
|
Øq
|
pÞq
|
q Þ p
|
Øp Þ Øq
|
Øq Þ Øp
|
T
|
T
|
F
|
F
|
T
|
T
|
T
|
T
|
T
|
F
|
F
|
T
|
F
|
T
|
T
|
F
|
F
|
T
|
T
|
F
|
T
|
F
|
F
|
T
|
F
|
F
|
T
|
T
|
T
|
T
|
T
|
T
|
INGKARAN KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI
Contoh 1.8:
Tentukan ingkaran atau negasi konvers,
invers, dan kontraposisi dari implikasi berikut.
“Jika suatu bendera adalah bendera RI maka
bendera tersebut berwarna merah dan putih”
Penyelesaian
Misal p : Suatu bendera adalah bendera RI
q : Bendera tersebut berwarna merah dan putih
maka kalimatnya menjadi p Þ q atau jika
menggunakan operator dan maka p Þ q ekuivalen(sebanding/») dengan Øp Ú q. Sehingga
1.
Negasi
dari implikasi
Implikasi : (pÞq) » Øp Ú q
Negasinya : Ø(ØpÚq) » pÙØq
Kalimatnya :“Suatu bendera adalah bendera RI dan
bendera tersebut tidak berwarna
merah dan putih”.
2.
Negasi
dari konvers
Konvers : qÞp » ØqÚp
Negasinya : Ø(ØqÚp)
»
qÙØp
Kalimatnya : “Ada/Terdapat bendera berwarna merah
dan putih tetapi bendera tersebut bukan bendera RI”.
3.
Negasi
dari invers
Invers : Øp Þ Øq » Ø(Øp)ÚØq) » pÙØq
Negasinya : Ø(pÙØq) » ØpÚq
Kalimatnya :
“Suatu bendera bukan bendera RI atau bendera tersebut berwarna merah dan
putih”.
4.
Negasi dari kontraposisi
Kontraposisi : Øq Þ Øp » Ø(Øq)ÚØp » qÚØp
Negasinya : Ø(qÚØp) » ØqÙp
Kalimatnya : “
Suatu bendera tidak berwarna merah dan putih dan bendera tersebut adalah
bendera RI”.
1.5 EKUIVALENSI LOGIKA
Pada tautologi, dan juga kontradiksi, dapat dipastikan bahwa jika dua buah
ekspresi logika adalah tautologi, maka kedua buah ekspresi logika tersebut
ekuivalen secara logis, demikian pula jika keduanya kontradiksi. Persoalannya
ada pada contingent, karena memiliki
semua nilai T dan F. Tetapi jika urutan T dan F atau sebaliknya pada tabel
kebenaran tetap pada urutan yang sama maka tetap disebut ekuivalen secara
logis. Perhatikan pernyataan berikut :
Contoh 1.9 :
1. Dewi sangat
cantik dan peramah.
2. Dewi peramah
dan sanagt cantik.
Kedua
pernyataan di atas, tanpa dipikir panjang, akan dikatakan ekuivalen atau sama
saja. Dalam bentuk ekspresi logika dapat ditulis sebagai berikut :
A = Dewi sangat
cantik.
B = Dewi
peramah.
Maka ekspresi
logikanya :
1. A Ù B
2. B Ù A
Jika dikatakan
kedua buah ekspresi logika tersebut ekuivalen secara logis maka dapat ditulis A
Ù B º B Ù A. Ekuivalensi logis dari kedua ekspresi logika tersebut dapat dibuktikan
dengan tabel kebenaran sebagai berikut ini :
A
|
B
|
AÙB
|
BÙA
|
T
|
T
|
T
|
T
|
T
|
F
|
F
|
F
|
F
|
T
|
F
|
F
|
F
|
F
|
F
|
F
|
Pembuktian
dengan tabel kebenaran diatas, walaupun setiap ekspresi logika memiliki nilai T
dan F, tetapi karena memiliki urutan yang sama, maka secara logis tetap
dikatakan ekuivalen. Tetapi jika urutan T dan F tidak sama, maka tidak biasa
dikatakan ekuivalen secara logis. Tabel kebenaran merupakan alat untuk
membuktikan kebenaran ekuivalensi secara logis. Kesimpulan diambil berdasarkan
hasil dari tabel kebenaran tersebut. Lihat pernyataan berikut ini :
Contoh 1.10 :
1. Badu tidak
pandai, atau dia tidak jujur.
2. Adalah tidak
benar jika Badu pandai dan jujur.
Secara intuitif
dapat ditebak bahwa kedua pernyataan di atas sebenarnya sama, tetapi bagaimana
jika idbuktikan dengan menggunkan tabel kebenaran berdasarkan ekspresi logika.
Adapaun langkah-langkahnya :
1. Ubah dahulu
argumen di atas ke dalam bentuk ekspresi/notasi logika.
Misal : A=Badu pandai
B=Badu jujur
Maka kalimatnya menjadi
1. ØAÚØB
2. Ø(AÙB)
2. Buat tabel
kebenarannya
A
|
B
|
ØA
|
ØB
|
AÙB
|
ØAÚØB
|
Ø(AÙB)
|
T
|
T
|
F
|
F
|
T
|
F
|
F
|
T
|
F
|
F
|
T
|
F
|
T
|
T
|
F
|
T
|
T
|
F
|
F
|
T
|
T
|
F
|
F
|
T
|
T
|
F
|
T
|
T
|
Perhatikan
ekspresi di atas! Meskipun kedua ekspresi
logika di atas memiliki nilai kebenaran yang sama, ada nilai T dan F, keduanya
baru dikatakan ekuivalen secara logis jika dihubungkan dengan perangkai
ekuivalensi dan akhirnya menghasilkan tautologi.
3. Tambahkan perangkai biimplikasi untuk menghasilkan
tautologi
ØAÚØB
|
Ø(AÙB)
|
ØAÚØB Û Ø(AÙB)
|
F
|
F
|
T
|
T
|
T
|
T
|
T
|
T
|
T
|
T
|
T
|
T
|
Jika hasilnya
adalah tautologi (bernilai T semua), maka dikatakan bahwa kedua argumen
tersebut ekuivalen secara logis.
1.5.1 HUKUM-HUKUM EKUIVALENSI LOGIKA
Identitas
|
pÙ1 º p
|
pÚ0 º p
|
Ikatan
|
pÚ1 º T
|
pÙ0 º 0
|
Idempoten
|
pÚp º p
|
pÙp º p
|
Negasi
|
pÚØp º 1
|
pÙØp º 0
|
Negasi Ganda
|
ØØp º p
|
|
Komutatif
|
pÚq º qÚp
|
pÙq º qÙp
|
Asosiatif
|
(pÚq)Úr º pÚ(qÚr)
|
(pÙq)Ùr
º pÙ(qÙr)
|
Distributif
|
pÚ(qÙr) º (pÚq)Ù(pÚr)
|
pÙ(qÚr) º (pÙq)Ú(pÙr)
|
De Morgan’s
|
Ø(pÙq)
º Øp Ú Øq
|
Ø(pÚq)
º Øp Ù Øq
|
Aborbsi
|
pÙ(pÚq) º p
|
pÚ(pÙq) º p
|
Selain dengan menggunkan tabel kebenaran,
menentukan dua buah argumen adalah ekuivalen secara logis dapat juga
menggunakan hukum-hukum ekuivalensi logika. Cara ini lebih singkat
Contoh
1.11 :
1.
Buktikan ekuivalensi
kalimat di bawah ini dengan hukum-hukum ekuivalensi.
Ø(pÚØq) Ú (ØpÙØq) º Øp
Penyelesaian
Ø(pÚØq) Ú (ØpÙØq) º (ØpÙØ(Øq)) Ú (ØpÙØq)
º (ØpÙq) Ú (ØpÙØq)
º Øp Ù (qÚØq)
º Øp Ù T
º Øp Terbukti
Dalam
membuktikan ekuivalensi pºq ada 3 macam cara yang bisa dilakukan :
- P diturunkan terus menerus
(dengan menggunakan hukum-hukum ekuivalensi logika yang ada).
- Q diturunkan terus-menerus
(dengan menggunakan hukum-hukum ekuivalensi logika yang ada), sehingga
didapat P.
- P dan Q diturunkan secara
terpisah sehingga akhirnya didapat R
Sebagai aturan
kasar, biasanya bentuk yang lebih kompleks yang diturunkan ke dalam bentuk yang
sederhana. Jadi jika p kompleks amaka aturan (1) yang dilakukan. Sebaliknya
jika q yang lebih kompleks maka aturan (2) yang dilakukan. Aturan (3) digunakan
jika p dan q sama-sama kompleks.
PENYEDERHANAAN LOGIKA
Operasi
penyederhanaan menggunakan hukum-hukum ekuivalensi logis. Selanjutnya
perhatikan operasi penyederhanaan berikut dengan hukum yang digunakan tertulis
di sisi kanannya. Penyederhanaan ekspresi logika atau bentuk-bentuk logika ini
dibuat sesederhana mungkin dan sudah tidak dimungkinkan dimanipulasi lagi.
Contoh 1.12 :
1.
Øp Þ Ø(p Þ Øq)
º Øp Þ Ø(Øp Ú Øq) ingat
pÞq º ØpÚq
º Ø(Øp) Ú Ø(Øp Ú Øq) ingat pÞq º ØpÚq
º p Ú (p Ù q) Hk.
Negasi ganda dan De Morgan
º
(pÚp)
Ù
(pÚq) Hk. Distributif
º
pÙ(pÚq) Hk.
Idempoten pÚp º p
º p Hk.
Absorbsi
2. pÚ(pÙq)
º (pÙ1) Ú(pÙq) Hk.Identitas
º pÙ(1Úq) Hk.Distributif
º pÙ1 Hk.Identitas Ú
º
p Hk.Identitas Ù
3. (pÞq)
Ù
(qÞp)
º (ØpÚq) Ù (ØqÚp) ingat pÞq
º
ØpÚq
º (ØpÚq) Ù (pÚØq) Hk. Komutatif
º [(ØpÚq) Ùp] Ú [(ØpÚq)ÙØq] Hk. Distributif
º [(pÙØp)Ú(pÙq)] Ú [(ØpÙØq)Ú(qÙØq)] Hk. Distributif
º [0Ú(pÙq)] Ú [(ØpÙØq)Ú0] Hk. Kontradiksi
º (pÙq)Ú(ØpÙØq) Hk. Identitas
Operasi penyederhanaan dengan menggunakan
hukum-hukum logika dapat digunakan untuk membuktikan suatu ekspresi logika
Tautologi, Kontradiksi, maupun Contingent. Jika hasil akhir penyederhanaan
ekspresi logika adalah 1, maka
ekspresi logika tersebut adalah tautologi.
Jika hasil yang diperoleh adalah 0,
berarti ekspresi logika tersebut kontradiksi.
Jika hasilnya tidak 0 ataupun 1,
maka ekspresi logikanya adalah contingent.
Contoh
1.13 :
1.
[(pÞq)Ùp]Þq
º [(ØpÚq)Ùp] Þ q ingat pÞq º ØpÚq
º Ø[(ØpÚq)Ùp] Ú q ingat pÞq º ØpÚq
º [(pÙØq)ÚØp] Ú q Hk. Negasi
ganda dan De Morgan
º [(pÚØp)Ù(ØqÚØp)] Ú q Hk. Distributif
º [1Ù(ØpÚØq)] Ú q Hk.
Idempoten dan komutatif
º (ØpÚØq)Úq Hk.
Identitas
º ØpÚ(ØqÚq) Hk.
Assosiatif
º ØpÚ1 Hk.
Idempoten
º 1 Hk.
Identitas
Karena hasil akhirnya 1, maka ekspresi logika diatas adalah tautologi.
2.
(pÚq) Ù [(Øp) Ù (Øq)]
º (pÚq)Ù(ØpÙØq)
º [(pÚq)ÙØp]Ù[(pÚq)ÙØq] Hk.
Distributif
º [(pÙØp)Ú(qÙØp)]Ù[(pÙØq)Ú(qÙØq)] Hk. Distributif
º [0Ú(qÙØp)]Ù[(pÙØq)Ú0] Hk. Negasi
º (ØpÙq)Ù(pÙØq) Hk.
Idempoten
º (ØpÙp)Ù(qÙØq) Hk.
Assosiatif
º 0Ù0 Hk.
Negasi
º 0 Hk.
Idempoten
Hasil akhir 0, maka ekspresi logika diatas adalah kontradiksi.
3. [(pÚq)ÙØp] Þ Øq
º [(pÙØp)Ú(qÙØp)] Þ Øq Hk. Distributif
º [0 Ú (qÙØp)] Þ Øq Hk. Negasi
º (qÙØp) Þ Øq Hk.
Identitas
º Ø(qÙØp) Ú Øq ingat pÞq º ØpÚq
º (ØqÚp) Ú Øq Hk. De
Morgan
º (ØqÚØq)Úp Hk.
Assosiatif
º ØqÚp Hk.
Idempoten
Hasilnya bukan 0
atau 1, ekspresi logika di atas adalah
contingent.
1.5 INFERENSI LOGIKA
1.5.1
ARGUMEN VALID DAN INVALID
Argumen adalah suatu
pernyataan tegas yang diberikan oleh sekumpulan proposisi P1, P2, .........,Pn yang
disebut premis (hipotesa/asumsi) dan
menghasilkan proposisi Q yang lain yang disebut konklusi (kesimpulan).
Secara umum di notasikan dengan
P1,P2, ..........,Pn
├Q atau dapat
juga ditulis
|
|||||
Nilai kebenaran
suatu argumen ditentukan sebagai berikut :
“ Suatu argumen P1,P2,…………,,Pn
├ Q dikatakan benar (valid) jika Q bernilai benar untuk semua premis
yang benar dan argumen dalam keadaan selain itu dikatakan salah
(invalid/fallacy)”.
Dengan kata
lain, suatu argumen dikatakan valid apabila untuk sembarang pernyataan yang
disubtitusikan ke dalam premis, jika semua premis benar maka konklusinya juga
benar. Sebaliknya jika semua premis benar tetapi konklusinya ada yang salah
maka argumen tersebut dikatakan invalid
(fallacy).
Jadi suatu
argumen dikatakan valid jika
dan hanya jika proposisi P1ÙP2Ù........ÙPn) Þ Q adalah sebuah Tautologi.
Contoh 1.14 :
1.
Premis
P1 : Jika Office dan Delphi diperlukan maka semua orang
akan belajar komputer
P2 : Office dan Delphi diperlukan
Konklusi
Q : Semua orang akan belajar
komputer
Jika ditulis dalam bentuk notasi logika
Misal p : Office dan Delphi diperlukan
q : Semua orang belajar
komputer
Maka argumen diatas dapat ditulis :
pÞq, p ├ q (valid)
2.
Misal p : Saya suka
kalkulus
q : Saya lulus ujian kalkulus
Maka argumen p Þ q, p ├ q dapat ditulis
P1 : Jika saya suka
kalkulus, maka saya akan lulus ujian kalkulus
P2 : Saya lulus ujian
kalkulus
\ Saya lulus ujian kalkulus (valid)
Untuk
mengetahui suatu argumen apakah valid atau tidak maka dapat dilakukan
langkah-langkah sebagai berikut :
1.
Tentukan premis dan
konklusi argumen
2.
Buat tabel yang
menunjukkan nilai kebenaran untuk semua premis dan konklusi.
3.
Carilah baris kritis
yatitu baris diman semua premis bernilai benar.
4.
Dalam baris kritis
tersebut, jika nilai kesimpulan semuanya benar maka argumen tersebut valid.
Jika diantara baris kritis tersebut ada baris dengan nilai konklusi salah maka
argumen tersebut tidak valid.
Contoh 1.15:
Tentukan apakah
argumen berikut ini valid atau invalid
a)
pÚ(qÚr), Ør ├ pÚq
b)
pÞ(qÚØr), qÞ(pÙr) ├pÞr
Penyelesaian
a)
Baris ke
|
p
|
q
|
r
|
qÚr
|
pÚ(qÚr)
(Premis) |
Ør
(Premis)
|
pÚq
(konklusi)
|
1
|
T
|
T
|
T
|
T
|
T
|
F
|
T
|
2
|
T
|
T
|
F
|
T
|
T
|
T
|
T
|
3
|
T
|
F
|
T
|
T
|
T
|
F
|
T
|
4
|
T
|
F
|
F
|
F
|
T
|
T
|
T
|
5
|
F
|
T
|
T
|
T
|
T
|
F
|
T
|
6
|
F
|
T
|
F
|
T
|
T
|
T
|
T
|
7
|
F
|
F
|
T
|
T
|
T
|
F
|
F
|
8
|
F
|
F
|
F
|
F
|
F
|
T
|
F
|
Dapat dilihat
pada tabel diatas bahwa baris 2, 4, dan 6 premisnya bernilai benar semua.
Kemudian lihat pada baris konklusi. Ternyata pada baris
konklusi semuanya bernilai benar. Maka argumen diatas adalah valid.
b) Silahkan
Anda kerjakan!.
1.5.2
ATURAN PENARIKAN KESIMPULAN
A.
MODUS PONEN
Modus ponen atau penalaran langsung adalh salah satu metode inferensi
dimana jika diketahui implikasi ” Bila p maka q ” yang diasumsikan bernilai
benar dan antasenden (p) benar. Supaya implikasi pÞq bernilai benar, maka q juga harus bernilai benar.
Modus Ponen : pÞq , p ├ q
atau dapat juga ditulis
pÞq
p
――――
\ q
Contoh 1.16 :
Jika digit terakhir suatu bilangan adalah 0, maka bilangan tersebut habis
dibagi 10
Digit terakhir suatu bilangan adalah 0
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
\ Bilangan tersebut habis dibagi 10
B.
MODUS TOLLENS
Bentuk modus tollens mirip dengan modus ponen, hanya saja premis kedua dan
kesimpulan merupakan kontraposisi premis pertama modus ponen. Hal ini
mengingatkan bahwa suatu implikasi selalu ekuivalen dengan kontraposisinya.
Modus Tollens : pÞq, Øq ├ Øp
Atau dapat juga ditulis
pÞq
Øq
――――
\ Øp
Contoh 1.17:
Jika digit terakhir suatu bilangan adalah 0, maka bilangan tersebut habis
dibagi 10
Suatu bilangan tidak habis dibagi 10
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
\ Digit terakhir bilangan tersebut bukan 0
C.
PENAMBAHAN DISJUNGTIF (ADDITION)
Inferensi penambahan disjungtif didasarkan atas fakta bahwa suatu kalimat
dapat digeneralisasikan dengan penghubung ”Ú”. Alasannya adalah karena penghubung ”Ú” bernilai benar jika salah satu komponennya bernilai
benar.
Misalnya saya mengatakan ”Langit berwarna biru” (bernilai benar). Kalimat
tersebut tetap akan bernilai benar jika ditambahkan kalimat lain dengan
penghubung ”Ú”. Misalnya ”Langit berwarna biru atau bebek adalah binatang menyusui”.
Kalimat tersebut tetap bernilai benar meskipun kalimat ”Bebek adalah binatang
menyusui”, merupakan kalimat yang bernilai salah.
Addition : p ├(pÚq)
atau q ├
(pÚq)
Atau dapat ditulis
p atau q
―――― ――――
\ pÚq \ pÚq
Contoh 1.18 :
Simon adalah siswa SMU
――――――――――――――――――――
\ Simon adalah siswa SMU atau SMP
D.
PENYEDERHAAN KONJUNGTIF (SIMPLIFICATION)
Inferensi ini merupakan kebalikan dari inferensi penambahan disjungtif.
Jika beberapa kalimat dihubungkan dengan
operator ”Ù”, maka kalimat tersebut dapat diambil salah satunya secara khusus
(penyempitan kalimat).
Simplification : (pÙq) ├p atau (pÙq) ├ q
Atau dapat ditulis
pÙq atau pÙq
――― ―――
\ p \ q
Contoh 1.19 :
Langit berwarna biru dan bulan berbentuk bulat
―――――――――――――――――――――――――
\ Langit berwarna biru atau \ Bulan berbentuk bulat
E.
SILOGISME DISJUNGTIF
Prinsip dasar Silogisme Disjungtif (Disjunctive syllogism) adalah kenyataan
bahwa apabila kita dihadapkan pada satu diantara dua pilihan yang ditawarkan (A
atau B). Sedangkan kita tidak memilih/tidak menyukai A, maka satu-satunua
pilihan adalah memilih B. Begitu juga sebaliknya.
Silogisme Disjungtif : pÚq, Øp ├q dan pÚq, Øq ├ p
Atau dapat ditulis
pÚq atau pÚq
Øp Øq
―――― ――――
\ q \ p
Contoh 1.20:
Saya pergi ke mars atau ke bulan
Saya tidak pergi ke mars
――――――――――――――――――
\ Saya pergi ke bulan
F.
SILOGISME HIPOTESIS (TRANSITIVITY)
Prinsip silogisme hipotesis adalah sifat transitif pada implikasi. Jika
implikasi pÞq dan qÞr keduanya bernilai benar, maka implikasi pÞr bernilai benar pula.
Transitivity : pÞq
, qÞr
├ pÞr
Atau dapat ditulis
pÞq
qÞr
―――――
\ pÞr
Contoh 1.21:
Jika hari hujan maka tanahnya menjadi berlumpur
Jika tanahnya berlumpur maka sepatu saya akan kotor
―――――――――――――――――――――――――――――
\ Jika hari hujan maka sepatu saya akan kotor.
G.
KONJUNGSI
Jika ada dua kalimat yang masing-masing benar, maka gabungan kedua kalimat
tersebut dengan menggunakan penghubung ”Ù” juga bernilai benar.
Konjungsi
p
q
――
\ pÙq
H.
DILEMA
Kadang-kadang, dalam kalimat yang dihubungkan dengan penghubung ”Ú”, masing-masing kalimat dapat mengimplikasikan sesuatu yang sama. Berdasarkan hal itu maka
suatu kesimpulan dapat diambil.
Dilema :
pÚq
pÞr
qÞr
―――
\r
No comments:
Post a Comment